前回の
記事の続きです．Horvitz-Thompson型推定量の推定値を求めます．
Horvitz-Thompson型推定量
「強く無視できる割当条件」\[ (y_{0}, y_{1}) \perp z | \mathbf{x} \]が成立するとき、
\[ E\left[\frac{y_{1}z}{e(\mathbf{x})}\right] = E\left[y_{1}\right] .\]
期待値の推定量は平均値をとることが一般的なので、
\begin{equation*}
\begin{split}
E \left[ \frac{y_{1}z}{e} \right]
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}y_{i1}}{e_{i}} \\
&= \frac{\sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}y_{i1}}{e_{i}}}{\sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}}{e_{i}}}
\end{split}
\end{equation*}
1行目から2行目へは、次のような関係を用いています．
\begin{equation*}
\begin{split}
E \left[ \frac{z}{e} \right]
&= E_{\mathbf{x}} \left[ E \left[ \frac{z}{e} | \mathbf{x} \right] \right] \\
&= E_{\mathbf{x}} \left[ \frac{1}{e}E \left[ z | \mathbf{x} \right] \right] = 1．
\end{split}
\end{equation*}
ところで、
\[ E \left[ \frac{z}{e} \right] \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}}{e_{i}}\]
であるので、
\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}}{e_{i}} \approx 1 \leftrightarrow
\sum_{i=1}^{N} \frac{z_{i}}{e_{i}} \approx n． \]
次回は、この推定量のRコードを考えてみます．
参考文献
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